15. Найти первообразную функции f(x) в точке М

В условии не указано, что требуется найти. Если нужно найти значение первообразной в точке М(2; 5) для некоторой функции, то сначала нужно определить функцию, для которой ищется первообразная. Предположим, что ищется первообразная для функции \( g(x) = 4x + \frac{1}{4}x^2 + x^3 \).

Первообразная \( G(x) = \int (4x + \frac{1}{4}x^2 + x^3) dx = 4 \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4} \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + C = 2x^2 + \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + C \).

Теперь найдем значение первообразной в точке \( x=2 \): \( G(2) = 2(2)^2 + \frac{1}{12}(2)^3 + \frac{1}{4}(2)^4 + C = 2(4) + \frac{1}{12}(8) + \frac{1}{4}(16) + C = 8 + \frac{2}{3} + 4 + C = 12 + \frac{2}{3} + C = \frac{36+2}{3} + C = \frac{38}{3} + C \).

Если M(2; 5) — это точка, через которую проходит график первообразной, то \( 5 = \frac{38}{3} + C \) \( C = 5 - \frac{38}{3} = \frac{15 - 38}{3} = -\frac{23}{3} \). Тогда первообразная \( G(x) = 2x^2 + \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{4}x^4 - \frac{23}{3} \).

Если же M(2; 5) — это какая-то другая точка, и нужно найти значение первообразной в точке x=2, то значение равно \( \frac{38}{3} \) (при \( C=0 \)) или \( \frac{38}{3} + C \).

Возможны интерпретации, что \( M(2;5) \) — это точка, через которую проходит график функции \( f(x) \) или ее первообразной. Если \( f(2)=5 \) то \( 4(2) + \frac{1}{4}(2)^2 + 2^3 = 8 + \frac{1}{4}(4) + 8 = 8+1+8 = 17 \neq 5 \). Значит, \( M(2;5) \) не лежит на графике \( f(x) \).

Если \( G(2)=5 \), то \( 2(2)^2 + \frac{1}{12}(2)^3 + \frac{1}{4}(2)^4 + C = 5 \). \( 8 + \frac{8}{12} + \frac{16}{4} + C = 5 \). \( 8 + \frac{2}{3} + 4 + C = 5 \). \( 12 + \frac{2}{3} + C = 5 \). \( \frac{38}{3} + C = 5 \). \( C = 5 - \frac{38}{3} = \frac{15-38}{3} = -\frac{23}{3} \).

Если же вопрос в том, какое из предложенных значений является первообразной для \( f(x) \) в точке \( x=2 \), то надо подставить \( x=2 \) в предложенные варианты и посмотреть, какой даст \( 5 \).

1) \( 5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \)

2) \( -7 \frac{2}{3} = -\frac{23}{3} \)

3) \( 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \)

4) \( \frac{1}{3} \)

Ни один из вариантов не равен \( \frac{38}{3} \) или \( 5 \). Если считать, что \( C=0 \), то \( \frac{38}{3} \) не совпадает ни с одним вариантом. Если \( C = -\frac{23}{3} \), то \( G(2) = 5 \), но это не вариант ответа. Если же M(2;5) — это точка, в которой надо найти значение функции \( f(x) \), то \( f(2) = 17 \) (см. выше), что также не совпадает с \( y=5 \).

Пересмотрим условие: \( f(x) = 4x + \frac{1}{4}x^2 + x^3 \). Первообразная \( G(x) = 2x^2 + \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + C \).

Если \( M(2; 5) \) — это точка, через которую проходит первообразная, то \( G(2) = 5 \). \( 2(2)^2 + \frac{1}{12}(2)^3 + \frac{1}{4}(2)^4 + C = 5 \) \( 8 + \frac{8}{12} + \frac{16}{4} + C = 5 \) \( 8 + \frac{2}{3} + 4 + C = 5 \) \( 12 + \frac{2}{3} + C = 5 \) \( \frac{38}{3} + C = 5 \) \( C = 5 - \frac{38}{3} = \frac{15-38}{3} = -\frac{23}{3} \).

Тогда первообразная: \( G(x) = 2x^2 + \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{4}x^4 - \frac{23}{3} \).

Теперь посмотрим на варианты ответов. Они не содержат константу C. Возможно, вопрос звучит как: найти значение первообразной в точке \( x=2 \), при этом \( C=0 \).

\( G(2) = 2(2)^2 + \frac{1}{12}(2)^3 + \frac{1}{4}(2)^4 = 8 + \frac{8}{12} + \frac{16}{4} = 8 + \frac{2}{3} + 4 = 12 + \frac{2}{3} = \frac{38}{3} = 12 \frac{2}{3} \). Этого нет в вариантах.

Возможно, точка \( M(2;5) \) — это точка, через которую проходит график функции \( f(x) \), и нужно найти первообразную в этой точке. Но \( f(2) = 17 \), что не равно 5.

Перечитаем условие. «Найти первообразную функции f(x) в точке М». Это может означать найти значение первообразной в точке \( x=2 \) и выбрать правильный вариант, если \( C \) подобрано так, что \( G(2) \) совпадает с одним из вариантов. Или же \( M(2;5) \) — это точка, через которую проходит график функции \( f(x) \) (что неверно). Или \( M(2;5) \) — это точка, через которую проходит график первообразной \( G(x) \).

Если \( G(2) = 5 \), мы получили \( C = -\frac{23}{3} \). Тогда \( G(x) = 2x^2 + \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{4}x^4 - \frac{23}{3} \).

Теперь проверим варианты ответов, как если бы они были значениями \( G(2) \) при разных \( C \).

1) \( 5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \). \( \frac{38}{3} + C = \frac{16}{3} \) \( C = \frac{16}{3} - \frac{38}{3} = -\frac{22}{3} \).

2) \( -7 \frac{2}{3} = -\frac{23}{3} \). \( \frac{38}{3} + C = -\frac{23}{3} \) \( C = -\frac{23}{3} - \frac{38}{3} = -\frac{61}{3} \).

3) \( 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \). \( \frac{38}{3} + C = \frac{8}{3} \) \( C = \frac{8}{3} - \frac{38}{3} = -\frac{30}{3} = -10 \).

4) \( \frac{1}{3} \). \( \frac{38}{3} + C = \frac{1}{3} \) \( C = \frac{1}{3} - \frac{38}{3} = -\frac{37}{3} \).

Нет соответствия.

Вернемся к условию: \( f(x) = 4x + \frac{1}{4}x^2 + x^3 \). Найти первообразную \( F(x) \) в точке \( x=2 \).

\( F(x) = \int (4x + \frac{1}{4}x^2 + x^3) dx = 2x^2 + \frac{x^3}{12} + \frac{x^4}{4} + C \).

Значение \( F(2) = 2(2)^2 + \frac{2^3}{12} + \frac{2^4}{4} + C = 2(4) + \frac{8}{12} + \frac{16}{4} + C = 8 + \frac{2}{3} + 4 + C = 12 + \frac{2}{3} + C = \frac{38}{3} + C \).

Если \( M(2; 5) \) — это точка, через которую проходит график первообразной, то \( F(2) = 5 \). \( \frac{38}{3} + C = 5 \) \( C = 5 - \frac{38}{3} = \frac{15-38}{3} = -\frac{23}{3} \).

Если же вопрос в том, какое значение из предложенных является значением первообразной в точке \( x=2 \), причём \( C \) подобрано так, что \( G(2) \) равно одному из вариантов.

Проверим, может быть, функция \( f(x) \) другая. \( f(x) = 4x + \frac{1}{4}x^2 + x^3 \) — это то, что написано.

Возможно, есть опечатка в функции или в точках.

Если предположить, что \( M(2; 5) \) — это точка, через которую проходит график \( f(x) \), то \( f(2) = 17 \neq 5 \).

Если же \( M(2;5) \) — это точка, через которую проходит график первообразной, то \( G(2) = 5 \), и \( C = -\frac{23}{3} \).

Теперь посмотрим на варианты ответов. Они выглядят как числа. Если эти числа — это значения первообразной в точке \( x=2 \) при каких-то \( C \).

1) \( 5 \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \).

2) \( -7 \frac{2}{3} = -\frac{23}{3} \).

3) \( 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \).

4) \( \frac{1}{3} \).

Ни одно из них не равно \( \frac{38}{3} \) (при \( C=0 \)).

Если \( C = -\frac{23}{3} \), то \( G(2) = 5 \).

Если предположить, что \( M(2;5) \) — это точка, через которую проходит первообразная, и один из вариантов ответа — это значение \( C \), тогда:

\( G(x) = 2x^2 + \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + C \).

Если \( C = -7 \frac{2}{3} = -\frac{23}{3} \), то \( G(2) = \frac{38}{3} - \frac{23}{3} = \frac{15}{3} = 5 \).

Таким образом, если \( C = -7 \frac{2}{3} \), то \( G(2) = 5 \), что соответствует координате \( y \) точки \( M \).

Ответ: 2) - 7 2/3;