17. Решите уравнение sin²x – 3 cos x - 3 = 0

Решение:

Заменим \( \sin^2x \) на \( 1 - \cos^2x \) согласно основному тригонометрическому тождеству.

\( (1 - \cos^2x) - 3 \cos x - 3 = 0 \).

\( 1 - \cos^2x - 3 \cos x - 3 = 0 \).

\( -\cos^2x - 3 \cos x - 2 = 0 \).

Умножим всё уравнение на -1:

\( \cos^2x + 3 \cos x + 2 = 0 \).

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Получим квадратное уравнение:

\( t^2 + 3t + 2 = 0 \).

Найдем корни этого уравнения:

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).

\( t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \).

\( t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \).

Теперь вернемся к замене \( t = \cos x \).

1) \( \cos x = -1 \). Это возможно, когда \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

2) \( \cos x = -2 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса всегда находится в диапазоне \( [-1; 1] \).

Таким образом, решениями уравнения являются \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k ∈ \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).