18. Найдите промежутки монотонности для функции y = (2/3)x³ + (5/2)x² - 12x

Решение:

Найдем производную функции: \( y' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x - 12 = 2x^2 + 5x - 12 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 2x^2 + 5x - 12 = 0 \).

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \).

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5 \).

\( x_2 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах:

• На \( (-\infty; -4) \) производная положительна (например, \( y'(-5) = 2(-5)^2 + 5(-5) - 12 = 50 - 25 - 12 = 13 > 0 \)), значит, функция возрастает.
• На \( (-4; 1.5) \) производная отрицательна (например, \( y'(0) = 2(0)^2 + 5(0) - 12 = -12 < 0 \)), значит, функция убывает.
• На \( (1.5; +\infty) \) производная положительна (например, \( y'(2) = 2(2)^2 + 5(2) - 12 = 8 + 10 - 12 = 6 > 0 \)), значит, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -4) \) и \( (1.5; +\infty) \). Функция убывает на интервале \( (-4; 1.5) \).