12. Тангенс угла между диагоналями параллелограмма ABCD равен 3/4. Диагонали равны 10 и 20. Найдите площадь параллелограмма.

Дано:

• ABCD - параллелограмм
• \[ \text{tg } \alpha = \frac{3}{4} \]
• \[ d_1 = 10 \]
• \[ d_2 = 20 \]

Найти:

• \[ S_{ABCD} \]

Решение:

Формула площади параллелограмма через диагонали:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha \]

Нам известен тангенс угла, нужно найти синус. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Также знаем, что orward{\(\text{tg }\) \(\alpha\) = \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)}.

Отсюда orward{\(\cos\) \(\alpha\) = \(\frac{\sin \alpha}{\text{tg } \alpha}\)}.

Подставим это в основное тождество:

\[ \sin^2 \alpha + \left( \frac{\sin \alpha}{\text{tg } \alpha} \right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2 \alpha \left( 1 + \frac{1}{\text{tg}^2 \alpha} \right) = 1 \]

\[ \sin^2 \alpha \left( \frac{\text{tg}^2 \alpha + 1}{\text{tg}^2 \alpha} \right) = 1 \]

\[ \sin^2 \alpha = \frac{\text{tg}^2 \alpha}{\text{tg}^2 \alpha + 1} \]

Подставим значение orward{\(\text{tg }\) \(\alpha\) = \(\frac{3}{4}\)}:

\[ \text{tg}^2 \alpha = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} \]

\[ \sin^2 \alpha = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{9}{16} + 1} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{9+16}{16}} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{25}{16}} = \frac{9}{25} \]

Так как угол между диагоналями может быть острым или тупым, то orward{\(\sin\) \(\alpha\)} будет положительным. Берем положительный корень:

\[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]

Теперь можем найти площадь параллелограмма:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \times \frac{3}{5} \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 200 \times \frac{3}{5} = 100 \times \frac{3}{5} = 20 \times 3 = 60 \]

Ответ: 60