16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. AB = 7, BC = 8, CD = 9, AD = 10. Найдите диагонали.

Решение:

Для четырехугольника, вписанного в окружность, выполняется теорема Птолемея:

\[ AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD \]\[ 7 \cdot 9 + 8 \cdot 10 = AC \cdot BD \]\[ 63 + 80 = AC \cdot BD \]\[ 143 = AC \cdot BD \]

Теперь применим теорему косинусов к треугольникам ABC и ADC.

В orward{\(\triangle\) ABC}:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cos B \]\[ AC^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cos B = 49 + 64 - 112 \cos B = 113 - 112 \cos B \]

В orward{\(\triangle\) ADC}:

Углы B и D в четырехугольнике, вписанном в окружность, являются смежными, то есть orward{B + D = 180^{\(\circ\)}}. Следовательно, orward{\(\cos\) D = \(\cos\)\(180^{\circ} - B\) = -\(\cos\) B}.

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cos D \]\[ AC^2 = 10^2 + 9^2 - 2 \cdot 10 \cdot 9 (-\cos B) = 100 + 81 + 180 \cos B = 181 + 180 \cos B \]

Приравняем два выражения для orward{AC^2}:

\[ 113 - 112 \cos B = 181 + 180 \cos B \]\[ -112 \cos B - 180 \cos B = 181 - 113 \]\[ -292 \cos B = 68 \]\[ \cos B = -\frac{68}{292} = -\frac{17}{73} \]

Теперь найдем orward{AC^2}:

\[ AC^2 = 113 - 112 \left(-\frac{17}{73}\right) = 113 + \frac{1904}{73} = \frac{113 \cdot 73 + 1904}{73} = \frac{8249 + 1904}{73} = \frac{10153}{73} \]\[ AC = \sqrt{\frac{10153}{73}} \]

Аналогично найдем orward{BD}. Применим теорему косинусов к треугольникам ABD и BCD.

В orward{\(\triangle\) ABD}:

\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cos A \]\[ BD^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cos A = 49 + 100 - 140 \cos A = 149 - 140 \cos A \]

В orward{\(\triangle\) BCD}:

Углы A и C смежные, orward{A + C = 180^{\(\circ\)}}, orward{\(\cos\) C = -\(\cos\) A}.

\[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cos C \]\[ BD^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \cdot 8 \cdot 9 (-\cos A) = 64 + 81 + 144 \cos A = 145 + 144 \cos A \]

Приравняем выражения для orward{BD^2}:

\[ 149 - 140 \cos A = 145 + 144 \cos A \]\[ -140 \cos A - 144 \cos A = 145 - 149 \]\[ -284 \cos A = -4 \]\[ \cos A = \frac{-4}{-284} = \frac{1}{71} \]

Найдем orward{BD^2}:

\[ BD^2 = 149 - 140 \left(\frac{1}{71}\right) = 149 - \frac{140}{71} = \frac{149 \cdot 71 - 140}{71} = \frac{10579 - 140}{71} = \frac{10439}{71} \]\[ BD = \sqrt{\frac{10439}{71}} \]

Ответ:

Диагонали равны orward{\(\sqrt{\frac{10153}{73}}\)} и orward{\(\sqrt{\frac{10439}{71}}\)}.