12. Тип 1 № 685373. Найдите точку максимума функции y = 9 ln(x − 4) − 9x − 7. ИЛИ найдите точку максимума функции y = (x + 8)²e^(3 − x). ИЛИ найдите точку минимума функции y = −x/(x² + 256). ИЛИ найдите точку максимума функции y = x³ + 27x² + 11.

1. Область определения: x > 4. Производная: y′ = 9/(x − 4) − 9. Приравниваем её к нулю: 9/(x − 4) = 9, откуда x = 5. При x < 5 производная положительна, а при x > 5 отрицательна, поэтому функция достигает максимума при x = 5.

2. Для y = (x + 8)²e^(3 − x) получаем y′ = e^(3 − x)(x + 8)(−x − 6). В точке x = −6 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума. Заметим, что на всей числовой прямой глобального максимума нет: при x → −∞ функция неограниченно возрастает.

3. Для y = −x/(x² + 256): y′ = (x² − 256)/(x² + 256)². Производная отрицательна при −16 < x < 16 и положительна при x > 16, поэтому минимум достигается при x = 16.

4. Для y = x³ + 27x² + 11 имеем y′ = 3x(x + 18). При переходе через x = 0 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому x = 0 — точка локального максимума. Глобального максимума на всей числовой прямой у кубической функции нет.

Ответ: 1) x = 5; 2) x = −6; 3) x = 16; 4) x = 0. Для 2) и 4) речь идёт о точках локального максимума.