14. Тип 14 № 685383. ИЛИ: В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1 и KC = 3. ИЛИ: Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Плоскость α проходит через ребро AB и пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Известно, что AB = AN = BM = 5MN. а) Докажите, что SM : MC = SN : ND = 1 : 4. б) Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.

Первый вариант

а) Пусть длина ребра тетраэдра равна a. Введём координаты A = (−a/2, 0, 0), B = (a/2, 0, 0), C = (0, a/√2, a/2), D = (0, a/√2, −a/2). Эти точки задают правильный тетраэдр. Середины M и N имеют координаты (0, 0, 0) и (0, a/√2, 0), поэтому MN направлена вдоль оси y. Рёбра AB и CD направлены вдоль осей x и z соответственно. Следовательно, MN ⟂ AB и MN ⟂ CD.

б) Из BK = 1 и KC = 3 следует BC = 4, то есть a = 4. Плоскость α перпендикулярна MN, поэтому её уравнение в выбранных координатах имеет вид y = const. Так как K делит BC в отношении BK : KC = 1 : 3, плоскость через K пересекает рёбра AC, AD и BD на той же доле пути от вершины с y = 0 к вершине с y = a/√2. Сечение — прямоугольник: его стороны параллельны AB и CD, а длины равны 3a/4 и a/4. Поэтому S = (3a/4)(a/4) = 3a²/16 = 3.

Ответ: а) MN ⟂ AB и MN ⟂ CD; б) площадь сечения равна 3.

Второй вариант

а) Обозначим сторону квадрата основания через a, высоту пирамиды через h, а отношения SM/SC и SN/SD — через t и u. В координатах A = (−a/2, −a/2, 0), B = (a/2, −a/2, 0), C = (a/2, a/2, 0), D = (−a/2, a/2, 0), S = (0, 0, h) получаем BM² = a²/2 + (a²/2 + h²)t², а AN² = a²/2 + (a²/2 + h²)u². Условие BM = AN и положительность коэффициента при квадратах дают t = u. Тогда MN = at. Из AB = 5MN следует a = 5at, значит, t = u = 1/5. Следовательно, SM : MC = SN : ND = 1 : 4.

б) По условию BM = a. Подставляя t = 1/5 в выражение для BM², получаем a² = a²/2 + (a²/2 + h²)/25, откуда h² = 12a². Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной AB. Горизонтальная проекция отрезка, лежащего в α и перпендикулярного AB, равна a(1 + t)/2 = 3a/5, а вертикальная составляющая равна h(1 − t) = 4√3a/5. Поэтому косинус угла между плоскостью α и основанием равен (3a/5)/√((3a/5)² + (4√3a/5)²) = 3/√57 = √(3/19).

Ответ: а) SM : MC = SN : ND = 1 : 4; б) cos угла между плоскостями равен √(3/19).