15. Тип 14 № 685384. ИЛИ: Решите неравенство [log₂(2 − x) − log₂(x + 1)] / [log₂²(x²) + log₂(x⁴) + 1] ≥ 0. ИЛИ: Решите неравенство (27ˣ − 9ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ − 27)/(50x² − 110x + 60,5) ≥ 0.

Первый вариант

Область определения: −1 < x < 2, x ≠ 0. Обозначим log₂(x²) через t. Тогда log₂(x⁴) = 2t, и знаменатель равен t² + 2t + 1 = (t + 1)². Он положителен, кроме точек, где t = −1, то есть x = ±1/√2; эти значения исключаются из области определения выражения.

Числитель равен log₂((2 − x)/(x + 1)). Поскольку основание логарифма больше 1, он неотрицателен тогда и только тогда, когда (2 − x)/(x + 1) ≥ 1. На области −1 < x < 2 это равносильно x ≤ 1. Учитываем исключённые точки x = 0 и x = ±1/√2.

Ответ: (−1; −1/√2) ∪ (−1/√2; 0) ∪ (0; 1/√2) ∪ (1/√2; 1].

Второй вариант

Положим t = 3ˣ. Тогда числитель преобразуется так: 27ˣ − 9ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ − 27 = t³ − 9t² + 27t − 27 = (t − 3)³ = (3ˣ − 3)³.

Знаменатель: 50x² − 110x + 60,5 = 50(x − 1,1)². Он положителен при x ≠ 1,1 и равен нулю при x = 1,1, поэтому эта точка исключается. Так как 3ˣ − 3 имеет знак x − 1, числитель неотрицателен при x ≥ 1. Учитывая нуль знаменателя, получаем решение.

Ответ: [1; 1,1) ∪ (1,1; +∞).