13. Тип 14 № 685381. ИЛИ: а) Решите уравнение 2 sin³ x = √2 cos² x + 2 sin x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π; −5π/2]. ИЛИ: а) Решите уравнение 2 + 2 cos(π − 2x) + √8 sin x = √6 + √12 sin x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Первый вариант

а) Используем cos² x = 1 − sin² x и переносим всё в левую часть:

2 sin³ x + √2 sin² x − 2 sin x − √2 = 0.

Разложение на множители: (sin² x − 1)(2 sin x + √2) = 0. Поэтому sin x = 1, sin x = −1 или sin x = −√2/2.

Общее решение: x = π/2 + 2πk; x = 3π/2 + 2πk; x = 5π/4 + 2πk или x = 7π/4 + 2πk, где k ∈ ℤ.

б) Отбираем корни из заданного отрезка. Получаем −7π/2, −11π/4 и −5π/2.

Ответ: а) x = π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk; 5π/4 + 2πk; 7π/4 + 2πk, k ∈ ℤ. б) −7π/2; −11π/4; −5π/2.

Второй вариант

а) Так как cos(π − 2x) = −cos 2x, а 1 − cos 2x = 2 sin² x, уравнение после преобразования принимает вид 4 sin² x + 2(√2 − √3)sin x − √6 = 0. Его корни относительно sin x: √3/2 и −√2/2. Значит, общее решение: x = π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk; x = 5π/4 + 2πk или 7π/4 + 2πk, где k ∈ ℤ.

б) На отрезке [3π; 9π/2] этим значениям соответствуют 13π/3, 13π/4 и 15π/4.

Ответ: а) x = π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk; 5π/4 + 2πk; 7π/4 + 2πk, k ∈ ℤ. б) 13π/4; 15π/4; 13π/3.