12. Тип 12 № 506810. В треугольнике ABC BC = √7, AC = 3√7, внешний угол при вершине C равен 120°. Найдите AB.

Внешний угол при вершине \(C\) равен углу между сторонами \(AC\) и продолжением стороны \(BC\), поэтому внутренний угол \(C = 180° - 120° = 60°\).

По теореме косинусов:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC\cdot BC\cos 60°\]

\[AB^2 = (3\sqrt7)^2 + (\sqrt7)^2 - 2\cdot 3\sqrt7\cdot\sqrt7\cdot\frac12\]

\[AB^2 = 63 + 7 - 21 = 49.\]

Следовательно, \(AB = 7\).

Ответ: 7.