12. Упростите выражение 7cos²α + tgα·ctgα + 7sin²α.

Решение:

Сначала упростим выражение, сгруппировав слагаемые с \( ́ \):

\[ 7\cos^2\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha + 7\sin^2\alpha = 7(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha \]

Используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \) и определение \( \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 \):

\[ 7(1) + 1 = 7 + 1 = 8 \]

Ответ: 8