№12. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ=5.

Решение:

1. Так как ABCD — параллелограмм, то \( ∠ A = ∠ C = 60^\circ \) и \( ∠ B = ∠ D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). Также \( BC – AD \) и \( AB – CD \).

2. AM — биссектриса \( ∠ A \), следовательно, \( ∠ BAM = ∠ MAD = 60^\circ / 2 = 30^\circ \).

3. Рассмотрим \( △ ABM \). \( ∠ B = 120^\circ \), \( ∠ BAM = 30^\circ \). Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \( ∠ AMB = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).

4. Так как \( ∠ BAM = ∠ AMB = 30^\circ \), то \( △ ABM \) — равнобедренный с основанием AM. Следовательно, \( AB = BM = 5 \).

5. Так как ABCD — параллелограмм, \( BC = AD \) и \( BM = 5 \). Поскольку \( BC = BM + MC \), то \( AD = 5 + MC \).

6. Рассмотрим \( △ ADM \). \( ∠ MAD = 30^\circ \). DM перпендикулярно AM, значит, \( ∠ AMD = 90^\circ \). Это противоречит тому, что \( ∠ AMB = 30^\circ \) (так как \( ∠ AMB + ∠ AMD = 180^\circ \), если M лежит на BC).

7. По условию, отрезки AM и DM перпендикулярны, т.е. \( ∠ AMD = 90^\circ \). Однако, точка M лежит на стороне BC. В параллелограмме \( ∠ AMB + ∠ AMD = 180^\circ \). Если \( ∠ AMD = 90^\circ \), то \( ∠ AMB = 90^\circ \).

8. В \( △ ABM \), \( ∠ B = 120^\circ \), \( ∠ BAM = 30^\circ \), \( ∠ AMB = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \). Значит \( AB = BM = 5 \).

9. Если \( ∠ AMD = 90^\circ \), то в \( △ ADM \): \( ∠ MAD = 30^\circ \), \( ∠ AMD = 90^\circ \). Тогда \( ∠ ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \). Но \( ∠ ADC = 120^\circ \). Значит \( ∠ MDC = ∠ ADC - ∠ ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ \). Это противоречие.

Возможно, в условии имелось в виду, что \( ∠ A = 60^\circ \) и \( ∠ ADM = 90^\circ \) (DM перпендикулярно AM), или \( ∠ AMB = 90^\circ \).

Предположим, что \( ∠ AMB = 90^\circ \). В \( △ ABM \): \( ∠ B = 120^\circ \). Сумма углов \( ∠ BAM + ∠ AMB + ∠ B = 30^\circ + 90^\circ + 120^\circ = 240^\circ \) - не треугольник.

Рассмотрим случай, когда DM перпендикулярно AM, и M лежит на BC. Получаем \( ∠ DAM = 30^\circ \), \( ∠ ADC = 120^\circ \). Отрезок DM лежит внутри угла ADC. Если DM перпендикулярно AM, то \( ∠ AMD = 90^\circ \). Это означает, что \( ∠ ADC = ∠ ADM + ∠ MDC \) и \( ∠ AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). В \( △ ABM \) \( ∠ B = 120^\circ \), \( ∠ BAM = 30^\circ \), \( ∠ AMB = 30^\circ \). Это означает, что \( AB = BM = 5 \).

Теперь рассмотрим \( △ ADM \). \( ∠ MAD = 30^\circ \), \( ∠ AMD = 90^\circ \). Тогда \( ∠ ADM = 60^\circ \). В параллелограмме \( ∠ ADC = 120^\circ \). Это означает, что M не лежит на BC, если DM перпендикулярно AM.

Перечитаем условие: "Отрезки АМ и DM перпендикулярны." Это означает \( ∠ AMD = 90^\circ \) или \( ∠ DMA = 90^\circ \).

Если \( ∠ DAM = 30^\circ \) и \( ∠ ADM = 120^\circ \), то \( ∠ DMA = 180 - 30 - 120 = 30^\circ \). Не 90.

Если \( ∠ A = 60^\circ \), \( ∠ B = 120^\circ \). \( ∠ BAM = 30^\circ \).

В \( △ ABM \): \( ∠ AMB = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \). Тогда \( AB = BM = 5 \).

Тогда \( BC = AD = BM + MC = 5 + MC \).

Если \( ∠ AMD = 90^\circ \) (перпендикулярность AM и DM), и M лежит на BC, то \( ∠ AMB + ∠ AMD = 180^\circ \). Если \( ∠ AMB = 30^\circ \), то \( ∠ AMD = 150^\circ \). Это не 90°.

Возможно, точка M лежит на продолжении BC, или имеется опечатка.

Предположим, что \( ∠ DMA = 90^\circ \) и M лежит на BC.

Тогда в \( △ ADM \): \( ∠ MAD = 30^\circ \), \( ∠ DMA = 90^\circ \). \( ∠ ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

\( ∠ ADC = 120^\circ \). \( ∠ MDC = ∠ ADC - ∠ ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ \).

В \( △ MDC \): \( ∠ C = 60^\circ \), \( ∠ MDC = 60^\circ \). Следовательно, \( △ MDC \) — равносторонний. \( MD = DC = MC \).

Так как \( AB = 5 \) и ABCD — параллелограмм, то \( CD = AB = 5 \). Следовательно, \( MC = 5 \).

Тогда \( BC = BM + MC = 5 + 5 = 10 \).

Периметр параллелограмма \( P = 2(AB + BC) \).

\[ P = 2(5 + 10) = 2(15) = 30 \]

Ответ: 30