12. В параллелограмме ABCD сторона AD = 6 см. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что B лежит между A и K, а C лежит между D и P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂. Найдите длину отрезка M₁M₂.

Пусть \(\mathbf e\) и \(\mathbf f\) — единичные векторы в направлениях \(BA\) и \(BC\) соответственно. Обозначим \(BC=q\). По свойству параллелограмма \(BC=AD=6\), поэтому \(q=6\).

1. Биссектриса угла \(ABC\) направлена как \(-\mathbf e+\mathbf f\), а биссектриса угла \(BCD\) — как \(-\mathbf e-\mathbf f\). Их пересечение находится на расстоянии \(q/2\) от \(B\) вдоль направления \(-\mathbf e+\mathbf f\), то есть \(M_1=\frac q2(-\mathbf e+\mathbf f)\).
2. Поскольку \(B\) лежит между \(A\) и \(K\), луч \(BK\) направлен как \(\mathbf e\); луч \(CP\) направлен как \(\mathbf e\), а луч \(CB\) — как \(-\mathbf f\). Направления биссектрис углов \(KBC\) и \(BCP\) равны \(\mathbf e+\mathbf f\) и \(\mathbf e-\mathbf f\). Их пересечение: \(M_2=\frac q2(\mathbf e+\mathbf f)\).
3. Тогда \(\overrightarrow{M_1M_2}=q\mathbf e\), поэтому \(M_1M_2=q=6\) см.

Ответ: 6 см.