12. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза \( c = 70 \), один из острых углов \( ∠ A = 45^\circ \).

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то второй острый угол \( ∠ B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Поскольку \( ∠ A = ∠ B = 45^\circ \), треугольник является равнобедренным. Катеты \( a = b \).

По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Так как \( a = b \), то \( 2a^2 = 70^2 \).

\[ 2a^2 = 4900 \]

\[ a^2 = 2450 \]

\[ a = √{2450} = √{49 × 50} = 7√{50} = 7 × 5√{2} = 35√{2} \]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2} × a^2 \]

\[ S = \frac{1}{2} × 2450 \]

\[ S = 1225 \]

Ответ: 1225.