9. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 104, HC = 26, ZACB = 75°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC \( AC = 104 \), \( HC = 26 \), \( ∠ ACB = 75^\circ \).

BM — медиана, значит, \( AM = MC = AC/2 = 104/2 = 52 \).

BH — высота.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол \( ∠ BHC = 90^\circ \).

В треугольнике BHC: \( HC = 26 \), \( ∠ C = 75^\circ \).

Найдем длину BH:

\[ BH = HC × \tan(∠ C) = 26 × \tan(75^\circ) \]

Значение \( \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} = \frac{1 + 1/√{3}}{1 - 1/√{3}} = \frac{√{3}+1}{√{3}-1} = \frac{(√{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3 + 2√{3} + 1}{2} = 2 + √{3} \). \( \tan(75^\circ) ≈ 3.732 \).

\( BH ≈ 26 × 3.732 ≈ 97.03 \).

Найдем длину BC:

\[ BC = \frac{HC}{\cos(75^\circ)} = \frac{26}{\cos(75^\circ)} \]

\( \tan(75^\circ) = \frac{BH}{HC} \rightarrow BH = HC \tan(75^\circ) = 26 \tan(75^\circ) \).

\( MC = 52 \). \( HC = 26 \). Следовательно, H лежит между M и C.

\( MH = MC - HC = 52 - 26 = 26 \).

В прямоугольном треугольнике BHM:

\[ \tan(∠ AMB) = \frac{BH}{MH} \]

\[ \tan(∠ AMB) = \frac{26 \tan(75^\circ)}{26} = \tan(75^\circ) \]

Отсюда, \( ∠ AMB = 75^\circ \).

Ответ: 75°.