12. В треугольнике ABC ∠A = 30°, BC = 8, AB = 8√2. Найдите ∠C.

Обозначим BC = a = 8, AB = c = 8√2. По теореме синусов:

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}\), поэтому \(\sin C=\dfrac{c\sin A}{a}=\dfrac{8\sqrt{2}\cdot 1/2}{8}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Синусу \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) соответствуют углы 45° и 135°. Оба допустимы: при ∠C = 45° угол B равен 105°, а при ∠C = 135° угол B равен 15°.

Ответ: ∠C = 45° или 135°.