12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 13, sin A = 1/5. Найдите высоту CH.

Так как угол C прямой, гипотенуза — AB. По определению синуса:

\(\sin A=\frac{BC}{AB}\), поэтому \(BC=13\cdot\frac{1}{5}=\frac{13}{5}\).

Найдём второй катет по теореме Пифагора:

\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-\left(\frac{13}{5}\right)^2}=\frac{13\sqrt{24}}{5}=\frac{26\sqrt6}{5}\).

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

\(\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CH\).

Следовательно, \(CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{\frac{26\sqrt6}{5}\cdot\frac{13}{5}}{13}=\frac{26\sqrt6}{25}\).

Ответ: \(\frac{26\sqrt6}{25}\).