12. Запишите множество всех целых значений переменной m, при которых значение дроби: a) \(\frac{18}{m-1}\) является натуральным числом б) \(\frac{10}{2m-1}\) является натуральным числом

Решение:

а)
\( \frac{18}{m-1} \) является натуральным числом

Для того чтобы дробь \( \frac{18}{m-1} \) была натуральным числом, знаменатель \( m-1 \) должен быть делителем числа 18. Целые делители числа 18: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18 \).

Чтобы \( \frac{18}{m-1} \) было натуральным, \( m-1 \) должен быть положительным делителем 18. Положительные делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Находим значения \( m \):

• \( m-1=1 \implies m=2 \)
• \( m-1=2 \implies m=3 \)
• \( m-1=3 \implies m=4 \)
• \( m-1=6 \implies m=7 \)
• \( m-1=9 \implies m=10 \)
• \( m-1=18 \implies m=19 \)

Множество значений \( m \): {2, 3, 4, 7, 10, 19}.

б)
\( \frac{10}{2m-1} \) является натуральным числом

Знаменатель \( 2m-1 \) должен быть положительным делителем числа 10. Положительные делители числа 10: 1, 2, 5, 10.

Находим значения \( m \):

• \( 2m-1=1 \implies 2m=2 \implies m=1 \)
• \( 2m-1=2 \implies 2m=3 \implies m=1.5 \) (не целое)
• \( 2m-1=5 \implies 2m=6 \implies m=3 \)
• \( 2m-1=10 \implies 2m=11 \implies m=5.5 \) (не целое)

Множество целых значений \( m \): {1, 3}.

Ответ: а) {2, 3, 4, 7, 10, 19}; б) {1, 3}.