13. Докажите, что если \( \frac{y}{x} = k \in \mathbb{Z} \), то \( \frac{6x^2 + 22xy - 4y^2}{3x^2 - 2xy} \) является целым числом.

Решение:

Дано, что \( \frac{y}{x} = k \), где \( k \) — целое число. Это значит, что \( y = kx \).

Подставим \( y = kx \) в выражение \( \frac{6x^2 + 22xy - 4y^2}{3x^2 - 2xy} \):

\[ \frac{6x^2 + 22x(kx) - 4(kx)^2}{3x^2 - 2x(kx)} = \frac{6x^2 + 22kx^2 - 4k^2x^2}{3x^2 - 2kx^2} \]

Вынесем \( x^2 \) из числителя и знаменателя (при условии, что \( x \neq 0 \), иначе \( \frac{y}{x} \) не определено):

\[ \frac{x^2(6 + 22k - 4k^2)}{x^2(3 - 2k)} \]

Сократим \( x^2 \):

\[ \frac{6 + 22k - 4k^2}{3 - 2k} \]

Теперь разделим числитель на знаменатель. Можно использовать деление столбиком или преобразовать числитель:

Заметим, что \( -4k^2 + 22k + 6 = -(4k^2 - 22k - 6) \). Попробуем представить числитель как произведение или использовать деление столбиком.

Выполним деление столбиком:

\( (4k^2 - 22k - 6) : (2k - 3) \)

\( 4k^2 - 6k \)

\(---------------- \)

\( -16k - 6 \)

\( -16k + 24 \)

\( ----------- \)

\( -30 \) (остаток)

Значит, \( 4k^2 - 22k - 6 = (2k-3)(2k-8) - 30 \).

Тогда числитель \( -(4k^2 - 22k - 6) = -((2k-3)(2k-8) - 30) = -(2k-3)(2k-8) + 30 \).

Выражение примет вид:

\[ \frac{-(2k-3)(2k-8) + 30}{3 - 2k} = \frac{-(2k-3)(2k-8)}{3 - 2k} + \frac{30}{3 - 2k} \]

\( = \frac{(2k-3)(8-2k)}{3 - 2k} + \frac{30}{3 - 2k} \)

\( = \frac{2(k-3/2) × 2(4-k)}{3 - 2k} + \frac{30}{3 - 2k} \) - это не совсем удобно.

Вернемся к \( \frac{6 + 22k - 4k^2}{3 - 2k} \). Перепишем числитель:

\[ 6 + 22k - 4k^2 = -2(2k^2 - 11k - 3) \]

Попробуем выделить \( (3-2k) \) в числителе. Можно сделать так:

\[ -4k^2 + 22k + 6 = (3-2k)(?) \]

\( -4k^2 + 22k + 6 = (2k-3)(-2k+c) \)

\( (2k-3)(-2k) = -4k^2 + 6k \)

\( -4k^2 + 6k \)

\( -------- \)

\( 16k + 6 \)

\( (2k-3)(8) = 16k - 24 \)

\( 16k - 24 \)

\( -------- \)

\( 30 \)

Значит, \( -4k^2 + 22k + 6 = (2k-3)(-2k+8) + 30 \).

Тогда выражение равно:

\[ \frac{(2k-3)(-2k+8) + 30}{3 - 2k} = \frac{(2k-3)(-2k+8)}{3 - 2k} + \frac{30}{3 - 2k} \]

\( = \frac{-(3-2k)(-2k+8)}{3 - 2k} + \frac{30}{3 - 2k} \)

\( = -(-2k+8) + \frac{30}{3 - 2k} = 2k - 8 + \frac{30}{3 - 2k} \)

Для того чтобы это выражение было целым числом, \( 3 - 2k \) должен быть делителем числа 30.

Так как \( k \) — целое число, то \( 3 - 2k \) также является целым числом.

Делители числа 30: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30 \).

Значение \( 3 - 2k \) всегда нечетное, так как \( 2k \) — четное, а \( 3 \) — нечетное. Разность нечетного и четного числа — нечетная.

Нечетные делители числа 30: \( \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 \).

Для каждого такого делителя \( 3 - 2k \) найдется целое \( k \). Следовательно, \( 2k - 8 + \frac{30}{3 - 2k} \) будет целым числом.

Доказано.