14. При каких целых значениях параметра а корень уравнения \( 3ax - 1 = 6 - x \) является: а) целым числом б) натуральным числом

Решение:

Решим уравнение относительно \( x \):

\[ 3ax - 1 = 6 - x \]

\[ 3ax + x = 6 + 1 \]

\[ x(3a + 1) = 7 \]

Если \( 3a + 1 \neq 0 \), то \( x = \frac{7}{3a + 1} \).

а) Корень является целым числом

Для того чтобы \( x \) было целым числом, знаменатель \( 3a + 1 \) должен быть делителем числа 7. Целые делители числа 7: \( \pm 1, \pm 7 \).

Рассмотрим случаи:

• \( 3a + 1 = 1 \implies 3a = 0 \implies a = 0 \). В этом случае \( x = \frac{7}{1} = 7 \) (целое).
• \( 3a + 1 = -1 \implies 3a = -2 \implies a = -\frac{2}{3} \) (не целое).
• \( 3a + 1 = 7 \implies 3a = 6 \implies a = 2 \). В этом случае \( x = \frac{7}{7} = 1 \) (целое).
• \( 3a + 1 = -7 \implies 3a = -8 \implies a = -\frac{8}{3} \) (не целое).

Целые значения параметра \( a \), при которых корень уравнения является целым числом: \( 0 \) и \( 2 \).

б) Корень является натуральным числом

Натуральные числа — это положительные целые числа: 1, 2, 3, ...

Из предыдущего пункта мы получили, что при \( a=0 \), \( x=7 \) (натуральное число).

При \( a=2 \), \( x=1 \) (натуральное число).

Таким образом, целые значения параметра \( a \), при которых корень уравнения является натуральным числом: \( 0 \) и \( 2 \).

Ответ: а) {0, 2}; б) {0, 2}.