120. Докажите, что если у треугольника две медианы равны, то он равнобедренный.

Пусть в треугольнике ABC медианы, проведённые из вершин A и B, равны: \(m_a=m_b\). Обозначим их середины сторон основания соответственно через D и E.

По теореме Аполлония для медианы:

\[m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},\qquad m_b^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}.\]

Так как \(m_a=m_b\), приравниваем выражения и сокращаем одинаковые слагаемые:

\[2b^2-a^2=2a^2-b^2,\qquad 3b^2=3a^2,\qquad a=b.\]

Равенство сторон \(a=b\) означает, что треугольник равнобедренный.