121. В параллелограмме ABCD (рис. 112) точка M — середина стороны CD. Отрезок AM пересекает диагональ BD в точке K, AK = 32 см. Найдите длину отрезка KM.

Обозначим \(AK=t\cdot AM\). В параллелограмме точка M — середина CD, поэтому, если принять A за начало координат и обозначить векторы \(\vec{AB}=\mathbf b\) и \(\vec{AD}=\mathbf d\), то \(\vec{AM}=\frac12\mathbf b+\mathbf d\).

Точка K лежит на AM, значит \(\vec{AK}=t(\frac12\mathbf b+\mathbf d)\). Так как K лежит на BD, её вектор имеет вид \(\mathbf b+s(\mathbf d-\mathbf b)\). Сравнивая коэффициенты при \(\mathbf b\) и \(\mathbf d\), получаем \(t/2=1-s\) и \(t=s\), откуда \(t=2/3\).

Следовательно, \(AK:KM=2:1\). Тогда \(KM=AK/2=32/2=16\) см.

Ответ: 16 см.