122. ABCD — трапеция, BM ∥ CD, CK ∥ AB, S₁ = 24, AK = KM = MD. Найдите площадь трапеции.

Поскольку AK = KM = MD, обозначим длину каждого отрезка через a. Тогда AD = 3a. Из параллельности CK ∥ AB и BC ∥ AD следует, что ABCK — параллелограмм, поэтому BC = AK = a.

Пусть h — высота трапеции. Обозначим через O пересечение BM и CK. На рисунке S₁ — площадь четырёхугольника ABOK. Треугольники, ограниченные прямыми BM и CK, дают точку O на половине высоты; вычисление площади ABOK (например, по координатам A(0,0), K(a,0), B(u,h), O((u+2a)/2,h/2)) даёт S₁ = 3ah/4.

Площадь трапеции равна (BC + AD)h/2 = (a + 3a)h/2 = 2ah. Следовательно, S₁ составляет 3/8 площади трапеции, и площадь трапеции равна 24 · 8/3 = 64.

Ответ: 64.