124. BK — биссектриса, KM ∥ AB, S₁ = 2, AB = 4, BC = 8. Найдите площадь △ABC.

По теореме о биссектрисе AK/KC = AB/BC = 4/8 = 1/2. Значит, CK/CA = 2/3. Так как KM ∥ AB, треугольники CKM и CAB подобны с коэффициентом 2/3. Поэтому CM/CB = 2/3, откуда BM/BC = 1/3.

Треугольники BKM и ABC имеют основания на одной прямой BC. Высота из K к BC составляет 2/3 высоты из A, поскольку CK/CA = 2/3 и точка C лежит на BC. Следовательно, S₁/S(ABC) = (BM/BC) · (2/3) = (1/3) · (2/3) = 2/9.

При S₁ = 2 площадь △ABC равна 2 · 9/2 = 9.

Ответ: 9.