1233. Сократите дробь: а) $\dfrac{4\cdot 3^{1/2}}{3^{1/2}-3}$; б) $\dfrac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}$; в) $\dfrac{x+x^{1/2}}{2x}$; г) $\dfrac{p^{1/2}-5}{p-25}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1233. Сократите дробь: а) $\dfrac{4\cdot 3^{1/2}}{3^{1/2}-3}$; б) $\dfrac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим $\sqrt3=t$ и домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
$\dfrac{4\sqrt3}{\sqrt3-3}=\dfrac{4\sqrt3(\sqrt3+3)}{(\sqrt3-3)(\sqrt3+3)}=\dfrac{4\sqrt3(\sqrt3+3)}{-6}=-2(1+\sqrt3).$
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов:
$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$, поэтому $\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}=\dfrac1{\sqrt a+\sqrt b}.$
Вынесем $\sqrt x$ в числителе и сократим:
$\dfrac{x+\sqrt x}{2x}=\dfrac{\sqrt x(\sqrt x+1)}{2x}=\dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x}.$
Разложим знаменатель на множители:
$p-25=(\sqrt p-5)(\sqrt p+5)$, поэтому $\dfrac{\sqrt p-5}{p-25}=\dfrac1{\sqrt p+5}.$

Ответ: а) $-2(1+\sqrt3)$; б) $\dfrac1{\sqrt a+\sqrt b}$; в) $\dfrac{\sqrt x+1}{2\sqrt x}$; г) $\dfrac1{\sqrt p+5}$.

Для исходных дробей знаменатель должен быть отличен от нуля; подкоренные выражения должны быть неотрицательны.

1233. Сократите дробь: а) \(\dfrac{4\cdot 3^{1/2}}{3^{1/2}-3}\); б) \(\dfrac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a-b}\); в) \(\dfrac{x+x^{1/2}}{2x}\); г) \(\dfrac{p^{1/2}-5}{p-25}\).