1234. Сократите дробь: а) $\dfrac{c+c^{1/2}d^{1/2}+d}{c^{3/2}-d^{3/2}}$; б) $\dfrac{m+n}{m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1234. Сократите дробь: а) $\dfrac{c+c^{1/2}d^{1/2}+d}{c^{3/2}-d^{3/2}}$; б) $\dfrac{m+n}{m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}$.$ Фото задания

1234. Сократите дробь: а) $\dfrac{c+c^{1/2}d^{1/2}+d}{c^{3/2}-d^{3/2}}$; б) $\dfrac{m+n}{m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}$.

Accepted Answer

Положим $u=\sqrt c$, $v=\sqrt d$. Тогда числитель равен $u^2+uv+v^2$, а знаменатель — $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$. Сокращаем общий множитель:
$\dfrac{c+\sqrt{cd}+d}{c^{3/2}-d^{3/2}}=\dfrac1{\sqrt c-\sqrt d}.$
Положим $u=\sqrt[3]m$, $v=\sqrt[3]n$. По формуле суммы кубов $m+n=u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$. Сокращаем:
$\dfrac{m+n}{m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}=\sqrt[3]m+\sqrt[3]n.$

Ответ: а) $\dfrac1{\sqrt c-\sqrt d}$; б) $\sqrt[3]m+\sqrt[3]n$.

В пункте а) исходный знаменатель не должен равняться нулю.

1234. Сократите дробь: а) \(\dfrac{c+c^{1/2}d^{1/2}+d}{c^{3/2}-d^{3/2}}\); б) \(\dfrac{m+n}{m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}}\).

Ответ: