127. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что △BCD = △B₁C₁D₁.

Из равенства \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\) и \(\angle B = \angle B_1\) следует, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, \(AC = A_1C_1\), \(\angle BAC = \angle B_1A_1C_1\) и \(\angle ACB = \angle A_1C_1B_1\).

Так как точки \(D\) и \(D_1\) лежат на сторонах \(AB\) и \(A_1B_1\), то \(\angle CAD = \angle C A_1D_1\). По условию \(\angle ACD = \angle A_1C_1D_1\). Поэтому \(\triangle ACD = \triangle A_1C_1D_1\) по стороне и двум прилежащим углам.

Отсюда \(CD = C_1D_1\). Кроме того, из равенства углов при вершинах \(C\) получаем \(\angle BCD = \angle B_1C_1D_1\). Теперь в треугольниках \(BCD\) и \(B_1C_1D_1\): \(BC = B_1C_1\), \(CD = C_1D_1\), а угол между ними равен.

Следовательно, \(\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1\) по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.