1282. Упростить выражение: 1) \(6n\cdot\sqrt{\dfrac{m}{2n}}\cdot\sqrt{18mn}\); 2) \(\dfrac{a-1}{a^{3/4}+a^{1/2}}\cdot\dfrac{a^{1/2}+a^{1/4}}{a^{1/2}+1}\cdot a^{1/4}\).

1) Объединим подкоренные выражения:

\[6n\sqrt{\frac{m}{2n}\cdot18mn}=6n\sqrt{9m^2}=18n|m|.\]

Это выражение определено при \(n\ne0\), а оба подкоренных выражения неотрицательны (то есть \(m\) и \(n\) имеют одинаковый знак). Если в задаче подразумеваются положительные переменные, результат равен \(18mn\).

2) Положим \(t=a^{1/4}\), где \(a>0\). Тогда

\[\frac{t^4-1}{t^3+t^2}\cdot\frac{t^2+t}{t^2+1}\cdot t=\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t^2(t+1)}\cdot\frac{t(t+1)}{t^2+1}\cdot t=(t-1)(t+1)=t^2-1.\]

Ответ: 1) \(18n|m|\) (для положительных \(m,n\): \(18mn\)); 2) \(\sqrt{a}-1\).