1284. Упростить выражение: $\dfrac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}}-a^{1/3}b^{1/3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1284. Упростить выражение: $\dfrac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}}-a^{1/3}b^{1/3}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе. При $a\ne0$, $b\ne0$:

\[a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}=a^{-2}b^{-2}(a-b),\]

\[a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}=a^{-2}b^{-2}(a^{1/3}-b^{1/3}).\]

Пусть $u=a^{1/3}$, $v=b^{1/3}$. Тогда $a-b=u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$, поэтому

\[\frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}-a^{1/3}b^{1/3}=u^2+uv+v^2-uv=u^2+v^2.\]

Дополнительно требуется $a\ne b$, чтобы исходный знаменатель не обращался в ноль.

Ответ: $a^{2/3}+b^{2/3}$, при $ab\ne0$ и $a\ne b$.

1284. Упростить выражение: \(\dfrac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}}-a^{1/3}b^{1/3}\).