13. (3 балла) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+1 и y=-x-1. Выполните чертеж.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 1 \) и \( y = -x - 1 \), сначала найдём точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\( x^2 + 1 = -x - 1 \)

\( x^2 + x + 2 = 0 \)

Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \).

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), действительных корней нет, следовательно, парабола \( y = x^2 + 1 \) и прямая \( y = -x - 1 \) не пересекаются.

Проверим условие задания. Возможно, в условии опечатка. Если бы линиями были \( y = x^2 - 1 \) и \( y = -x + 1 \), то:

\( x^2 - 1 = -x + 1 \)

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

\( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)

Площадь находим как интеграл от верхней функции минус нижняя:

\( S = \int_{-2}^{1} ((-x + 1) - (x^2 - 1)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \)

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \)

\( S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) \)

\( S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \)

\( S = \left( \frac{-2 - 3 + 12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \)

\( S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8 - 18}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7 + 20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Чертеж:

Ответ: Площадь фигуры не существует, так как линии не пересекаются. Если предположить, что уравнения были \( y = x^2 - 1 \) и \( y = -x + 1 \), то площадь равна 4.5.