14. (3 балла) Решите уравнение 2sin²x=cosx+1.

Решение:

Запишем уравнение: \( 2\sin^2 x = \cos x + 1 \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим это в уравнение:

\( 2(1 - \cos^2 x) = \cos x + 1 \)

\( 2 - 2\cos^2 x = \cos x + 1 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\( 2t^2 + t - 1 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \cos x \):

1. \( \cos x = \frac{1}{2} \). Решение этого уравнения:

\[ x = \pm \arccos \left( \frac{1}{2} \right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. \( \cos x = -1 \). Решение этого уравнения:

\[ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Объединяя решения, получаем:

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \pi + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \).