13. (3 балла) Вычислите площадь земли, отведенного под клумбу, периметр которого ограничивают линии y=х²-2x-2 и y=-x²+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя параболами, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл разности функций.

1. Находим точки пересечения парабол:
   Приравняем уравнения: \( x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \)
   Перенесем все в одну сторону: \( x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \)
   \( 2x^2 - 2x - 4 = 0 \)
   Разделим на 2: \( x^2 - x - 2 = 0 \)
   Найдем корни квадратного уравнения (дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)):
   \[ x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
   \[ x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]
2. Находим значения функций в точках пересечения:
   При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 - 2(-1) - 2 = 1 + 2 - 2 = 1 \). Точка пересечения: (-1, 1).
   При \( x = 2 \): \( y = (2)^2 - 2(2) - 2 = 4 - 4 - 2 = -2 \). Точка пересечения: (2, -2).
3. Вычисляем площадь:
   Площадь \( S \) равна интегралу от разности функций от \( x_1 \) до \( x_2 \). Верхняя функция — \( y = -x^2 + 2 \), нижняя — \( y = x^2 - 2x - 2 \).
   \[ S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)) dx \]
   \[ S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2) dx \]
   \[ S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \]
   Найдем первообразную:
   \[ F(x) = -2 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} + 4x = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \]
   Вычислим определенный интеграл:
   \[ S = F(2) - F(-1) \]
   \[ F(2) = -\frac{2}{3}(2)^3 + (2)^2 + 4(2) = -\frac{16}{3} + 4 + 8 = 12 - \frac{16}{3} = \frac{36 - 16}{3} = \frac{20}{3} \]
   \[ F(-1) = -\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) = -\frac{2}{3}(-1) + 1 - 4 = \frac{2}{3} - 3 = \frac{2 - 9}{3} = -\frac{7}{3} \]
   \[ S = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]
4. Чертеж:
   Парабола \( y = x^2 - 2x - 2 \) имеет ветви вверх, вершина в \( (1, -3) \).
   Парабола \( y = -x^2 + 2 \) имеет ветви вниз, вершина в \( (0, 2) \).
   Точки пересечения: (-1, 1) и (2, -2).

Ответ: 9.