13. (3 балла) Вычислите площадь земли, отведенного под клумбу, периметр которого ограничивают линии y=x²-2x-2 и y=-x²+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Чтобы найти площадь клумбы, нужно найти точки пересечения двух парабол и вычислить интеграл разности функций между этими точками.

1. Найдем точки пересечения, приравняв уравнения:

\[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]

\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

Точки пересечения: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \).

2. Теперь вычислим площадь, используя определенный интеграл. Верхняя функция — \( y = -x^2 + 2 \), нижняя — \( y = x^2 - 2x - 2 \).

\[ S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)) dx \]

\[ S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2) dx \]

\[ S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \]

3. Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \]

\[ S = \left( -\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2) \right) - \left( -\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{16}{3} + 12 \right) - \left( \frac{2}{3} - 3 \right) \]

\[ S = \left( \frac{-16 + 36}{3} \right) - \left( \frac{2 - 9}{3} \right) \]

\[ S = \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) \]

\[ S = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]

Ответ: 9 м².