14. (3 балла) Решите уравнение sin²x - 2sinx=0. В ответ запишите количество решений, принадлежащих промежутку [0; 4π.]

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \textrm{sin}x \). Сделаем замену \( y = \textrm{sin}x \).

1. Уравнение примет вид:

\[ y^2 - 2y = 0 \]

2. Вынесем \( y \) за скобки:

\[ y(y - 2) = 0 \]

3. Отсюда получаем два возможных значения для \( y \):

\[ y_1 = 0 \] и \[ y_2 = 2 \]

4. Теперь вернемся к замене \( y = \textrm{sin}x \):

\( \textrm{sin}x = 0 \) или \( \textrm{sin}x = 2 \).

5. Уравнение \( \textrm{sin}x = 2 \) не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.
6. Решим уравнение \( \textrm{sin}x = 0 \). Общее решение этого уравнения:

\[ x = \(\textrm{π}\)n \), где \( n \) — целое число.

7. Найдем количество решений на промежутке \( [0; 4\textrm{π}] \). Подставим различные целые значения \( n \):
• При \( n = 0 \): \( x = 0 \)
• При \( n = 1 \): \( x = \textrm{π} \)
• При \( n = 2 \): \( x = 2\textrm{π} \)
• При \( n = 3 \): \( x = 3\textrm{π} \)
• При \( n = 4 \): \( x = 4\textrm{π} \)
• При \( n = 5 \): \( x = 5\textrm{π} \) (это значение выходит за пределы промежутка).
• При \( n = -1 \): \( x = -\textrm{π} \) (это значение выходит за пределы промежутка).

Таким образом, на промежутке \( [0; 4\textrm{π}] \) уравнение имеет 5 решений.

Ответ: 5.