13.3. Лестница массой m прислонена к стене. Чему равен минимальный угол φ между лестницей и полом, при котором лестница ещё находится в равновесии, если коэффициент трения между лестницей и стенкой равен μ₁, а между лестницей и полом равен μ₂? Определите силы реакции опоры и силы трения между лестницей, полом и стенкой.

Рассмотрим обычную лестницу, опирающуюся на горизонтальный пол и вертикальную стену. При минимальном угле лестница находится на грани скольжения: у стены сила трения направлена вверх, а у пола — к стене.

Обозначим нормальные реакции стены и пола через \(N_1\) и \(N_2\), силы трения — через \(F_1\) и \(F_2\). В предельном равновесии \(F_1=\mu_1N_1\), \(F_2=\mu_2N_2\).

1. Равновесие по горизонтали даёт \(N_1=F_2\), поэтому \(N_1=\mu_2N_2\).
2. Равновесие по вертикали: \(N_2+F_1=mg\). Подстановка условий предельного трения даёт \(N_2=mg/(1+\mu_1\mu_2)\).
3. Следовательно, \(N_1=\mu_2mg/(1+\mu_1\mu_2)\), \(F_1=\mu_1\mu_2mg/(1+\mu_1\mu_2)\), \(F_2=\mu_2mg/(1+\mu_1\mu_2)\).
4. Из равновесия моментов относительно нижнего конца лестницы: \(N_1\sin\varphi+F_1\cos\varphi=(mg/2)\cos\varphi\). Подставляя найденные силы, получаем \(\tan\varphi_{\min}=(1-\mu_1\mu_2)/(2\mu_2)\).

Эта формула для обычного ненулевого угла применима при \(\mu_1\mu_2<1\). Результирующие реакции опор при предельном равновесии: у пола \(R_2=\sqrt{N_2^2+F_2^2}=\frac{mg\sqrt{1+\mu_2^2}}{1+\mu_1\mu_2}\), у стены \(R_1=\sqrt{N_1^2+F_1^2}=\frac{\mu_2mg\sqrt{1+\mu_1^2}}{1+\mu_1\mu_2}\). Если \(\mu_1\mu_2\ge1\), предельный угол по этой модели равен нулю (граница вырожденного горизонтального положения).

Ответ: при \(\mu_1\mu_2<1\), \(\varphi_{\min}=\arctan\!\left(\frac{1-\mu_1\mu_2}{2\mu_2}\right)\); силы трения и нормальные реакции указаны выше.