13.4. Цилиндр радиусом R имеет цилиндрическую полость радиусом r, ось которой расположена параллельно оси цилиндра и смещена относительно неё на расстояние l. Цилиндр положили на наклонную плоскость. Определите максимальный угол наклона плоскости, при котором цилиндр ещё не скатывается.

Предположим, что цилиндр однороден, а плоскость достаточно шероховатая, чтобы обеспечить необходимую силу трения. Обозначим массу материала сплошного цилиндра через \(M\), а массу удалённого материала полости — через \(m_0\). Они пропорциональны площадям сечений: \(m_0/M=r^2/R^2\).

1. Центр масс оставшегося тела смещён от геометрической оси в сторону, противоположную полости. По формуле центра масс его смещение равно \(e=\frac{m_0l}{M-m_0}=\frac{lr^2}{R^2-r^2}\).
2. В равновесии сила трения должна уравновешивать составляющую веса вдоль плоскости, а её момент относительно геометрического центра должен уравновешивать момент силы тяжести. Для некоторого положения цилиндра это возможно, пока \(R\sin\alpha\le e\).
3. На предельном угле равенство достигается: \(\sin\alpha_{\max}=e/R\).

Ответ: \(\alpha_{\max}=\arcsin\!\left(\frac{lr^2}{R(R^2-r^2)}\right)\).