13 а) Решите уравнение √3 cos(2x+π/2)=2cos²(x-5π/2). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7π/2; -2π].

Решение уравнения:

а) Решение уравнения
\[ \sqrt{3} \cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{2}\right) \]

Используем тригонометрические тождества:

1. \[ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(\alpha) \]
2. \[ \cos^2(\beta) = \frac{1 + \cos(2\beta)}{2} \]
3. \[ \cos\left(\gamma - \frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(\gamma - 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\gamma - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\gamma) \]

Применяем эти тождества к нашему уравнению:

Левая часть:

\[ \sqrt{3} \cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{3} \left(-\sin(2x)\right) = -\sqrt{3} \sin(2x) \]

Правая часть:

\[ 2\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1 + \cos\left(2\left(x-\frac{5\pi}{2}\right)\right)}{2} = 1 + \cos\left(2x - 5\pi\right) \]

Так как \(\cos(\alpha - 2k\pi) = \cos(\alpha)\) для целого k, то

\[ \cos\left(2x - 5\pi\right) = \cos\left(2x - 4\pi - \pi\right) = \cos\left(2x - \pi\right) \]

Используя \(\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)\), получаем:

\[ \cos\left(2x - \pi\right) = -\cos(2x) \]

Таким образом, правая часть уравнения равна:

\[ 1 - \cos(2x) \]

Теперь приравниваем левую и правую части:

\[ -\sqrt{3} \sin(2x) = 1 - \cos(2x) \]

\[ \cos(2x) - \sqrt{3} \sin(2x) = 1 \]

Это уравнение вида \( a \cos x + b \sin x = c \). Приведем к виду \( R \cos(2x + \alpha) = 1 \).

Здесь \( a = 1 \), \( b = -\sqrt{3} \).

\[ R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]

Разделим уравнение на 2:

\[ \frac{1}{2} \cos(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x) = \frac{1}{2} \]

Мы знаем, что \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) и \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставляем:

\[ \cos(\frac{\pi}{3}) \cos(2x) - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin(2x) = \frac{1}{2} \]

Используем формулу косинуса суммы \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \):

\[ \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \]

Решаем это уравнение:

\[ 2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Случай 1:

\[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

\[ 2x = 2\pi k \]

\[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Случай 2:

\[ 2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

\[ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \]

\[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

б) Корни на промежутке
\[ \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \]

Для корней вида $$x = \pi k$$:

• Если \( k = -1 \), \( x = -\pi \). Это не входит в промежуток.
• Если \( k = -2 \), \( x = -2\pi \). Это входит в промежуток.
• Если \( k = -3 \), \( x = -3\pi \). Это входит в промежуток.
• Если \( k = -4 \), \( x = -4\pi \). Это не входит в промежуток.

Проверим границы:

\[ -\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi \]

Значит, \( k=-3 \) и \( k=-2 \) подходят.

Корни: \( x = -2\pi \) и \( x = -3\pi \).

Для корней вида $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$$:

• Если \( k = -1 \), \( x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -1.33\pi \). Не входит.
• Если \( k = -2 \), \( x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \approx -2.33\pi \). Входит в промежуток \( [-3.5\pi; -2\pi] \).
• Если \( k = -3 \), \( x = -\frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{10\pi}{3} \approx -3.33\pi \). Входит в промежуток \( [-3.5\pi; -2\pi] \).
• Если \( k = -4 \), \( x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} \approx -4.33\pi \). Не входит.

Корни: \( x = -\frac{7\pi}{3} \) и \( x = -\frac{10\pi}{3} \).

Сведем все корни, принадлежащие промежутку:

\[ -3\pi, -2\pi, -\frac{7\pi}{3}, -\frac{10\pi}{3} \]

Ответ:

а) $$x = \pi k$$ и $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

б) $$-3\pi, -2\pi, -\frac{7\pi}{3}, -\frac{10\pi}{3}$$.