Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 13. а) Решите уравнение \(\sin^3x-\sqrt3\sin^2x\cdot\cos x-\sin x\cdot\cos^2x+\sqrt3\cos^3x=0\). б) Укажите корни…Фото задания

Ответ:

а) Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:

\(\sin^3x-\sin x\cos^2x-\sqrt3\sin^2x\cos x+\sqrt3\cos^3x=0\),

\((\sin x-\sqrt3\cos x)(\sin^2x-\cos^2x)=0\).

Отсюда получаем два уравнения:

  1. \(\sin x=\sqrt3\cos x\), поэтому \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).
  2. \(\sin^2x=\cos^2x\), поэтому \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([0;\frac{3\pi}{2}]\) из первого семейства подходят \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{4\pi}{3}\); из второго — \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\) и \(\frac{5\pi}{4}\).

Ответ: \(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{4\pi}{3}\).