13. Дана призма ABCA₁B₁C₁. AM — медиана, а BH — высота треугольника ABC. Докажите, что следующие пары прямых являются скрещивающимися: а) AM и CC₁; б) AM и CB₁; в) B₁H и A₁B; г) AC и BC₁.

Question

Вопрос:

Фото задания

13. Дана призма ABCA₁B₁C₁. AM — медиана, а BH — высота треугольника ABC. Докажите, что следующие пары прямых являются скрещивающимися: а) AM и CC₁; б) AM и CB₁; в) B₁H и A₁B; г) AC и BC₁.

Accepted Answer

Обозначим плоскость основания ABC через π. Боковые рёбра призмы не параллельны плоскости π.

а) AM и CC₁. Прямая AM лежит в π, а CC₁ пересекает π только в точке C. Точка C не лежит на AM: медиана AM пересекает BC в её середине M, а не в C. Значит, прямые не пересекаются. CC₁ не параллельна π, поэтому не параллельна и AM. Следовательно, прямые скрещиваются.
б) AM и CB₁. Прямая AM лежит в π, а CB₁ пересекает π в точке C, которая не лежит на AM. Прямая CB₁ не параллельна π, следовательно, не параллельна AM. Значит, эти прямые скрещиваются.
в) B₁H и A₁B. По рисунку H лежит внутри AC, поэтому H ≠ A. Проверим, что прямые не пересекаются и не параллельны. Выберем координаты в основании: A = (0, 0), B = (p, q), H = (h, 0), где q ≠ 0 и h ≠ 0. Пусть вектор переноса основания в верхнее основание равен V = (u, v, w), где w ≠ 0. Тогда B₁ = B + V и A₁ = A + V.
Если прямые B₁H и A₁B пересекаются, равенство их точек с параметрами t и s по высотной координате даёт t = s. Равенство координат в основании тогда приводит к (1 − 2t)B + tH = 0. Из второй координаты, поскольку q ≠ 0, следует t = 1/2; из первой тогда следует h = 0. Это противоречит тому, что H ≠ A. Значит, прямые не пересекаются.
Их направляющие векторы равны H − B − V и B − V. Если бы они были пропорциональны, сравнение составляющих вне плоскости основания дало бы коэффициент пропорциональности 1, а затем H = 2B. Это невозможно: у H вторая координата равна 0, а у B — q ≠ 0. Прямые не параллельны, следовательно, они скрещиваются.
Если бы высота имела основание H = A, это утверждение было бы неверно: прямые B₁H и A₁B пересекались бы. На рисунке показан случай H внутри AC.
г) AC и BC₁. Прямая AC лежит в π, а BC₁ пересекает π в точке B. Точка B не лежит на AC, поэтому прямые не пересекаются. BC₁ не параллельна π и потому не параллельна AC. Следовательно, прямые скрещиваются.

Ответ: все четыре пары являются скрещивающимися при расположении H, показанном на рисунке.