13. Докажите, что: 1) a³ − 6a² + a − 6 ≥ 0, если a ≥ 6; 2) ab + 1 > a + b, если a > 1 и b > 1; 3) (a + 3)/3 + (3a − 2)/4 < a, если a < −6.

Сгруппируем слагаемые:

a³ − 6a² + a − 6 = a²(a − 6) + (a − 6) = (a − 6)(a² + 1).

Так как a ≥ 6, то a − 6 ≥ 0, а a² + 1 > 0. Следовательно, произведение неотрицательно.

Перенесём правую часть влево и разложим на множители:

ab + 1 − a − b = (a − 1)(b − 1).

Из условий a > 1 и b > 1 следует, что оба множителя положительны, поэтому ab + 1 − a − b > 0.

Вычтем левую часть из правой:

a − ((a + 3)/3 + (3a − 2)/4) = (12a − 4a − 12 − 9a + 6)/12 = (−a − 6)/12.

Поскольку a < −6, имеем −a − 6 > 0. Значит, разность положительна, то есть левая часть меньше a.