14. Докажите, что: 1) ab(b − a) ≤ a³ − b³, если a ≥ b; 2) (a − 1)/2 − (a − 2)/3 > 1/2, если a > 2.

Вычтем левую часть из правой и разложим на множители:

a³ − b³ − ab(b − a) = a³ − b³ − ab² + a²b = (a − b)(a² + 2ab + b²) = (a − b)(a + b)².

Так как a ≥ b и (a + b)² ≥ 0, разность неотрицательна. Следовательно, ab(b − a) ≤ a³ − b³.

Вычтем 1/2 из левой части:

(a − 1)/2 − (a − 2)/3 − 1/2 = (3a − 3 − 2a + 4 − 3)/6 = (a − 2)/6.

Из условия a > 2 следует (a − 2)/6 > 0. Значит, левая часть больше 1/2.