13 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Условие: Дан параллелограмм ABCD, в котором диагонали AC = BD.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и DCB.
• Сторона AB = DC (по свойству параллелограмма).
• Сторона BC – общая.
• Диагональ AC = DB (по условию).
2. Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABC = ∠DCB.
4. Так как ABCD — параллелограмм, то сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (например, ∠ABC + ∠DCB = 180°).
5. Так как ∠ABC = ∠DCB, то 2 * ∠ABC = 180°, откуда ∠ABC = 90°.
6. Таким образом, один из углов параллелограмма равен 90°.
7. Следовательно, все углы параллелограмма равны 90° (по свойству параллелограмма: противоположные углы равны, а сумма смежных равна 180°).

Вывод: Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.