13. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции $$ABCD$$, если диагональ $$AC$$ образует с основанием $$BC$$ и боковой стороной $$CD$$ углы, равные 30° и 105° соответственно.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Угол $$BCA = 30^°$$.
2. В трапеции $$ABCD$$ $$BC  || AD$$. Так как $$AC$$ — секущая, то угол $$CAD = BCA = 30^°$$.
3. Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Сумма углов в нем равна $$180^°$$.
   '\[' ∠ CAD + ∠ ACD + ∠ ADC = 180^° \]'
   '\[' 30^° + ∠ ACD + 105^° = 180^° \]'
   '\[' ∠ ACD = 180^° - 105^° - 30^° = 45^° \]'
4. Углы при основании трапеции равны: $$∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD = 30^° + 45^° = 75^°$$.
5. Углы $$ABC$$ и $$BCD$$ являются суммами углов при основаниях трапеции. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
   Углы при основании $$BC$$ равны $$∠ ABC = ∠ BCD = 75^°$$.
6. Углы при основании $$AD$$ равны $$∠ BAD = ∠ ADC = 105^°$$.
7. Меньший угол трапеции — это угол при основании $$BC$$.

Ответ: $$75^°$$