13. Острый угол равнобедренной трапеции равен углу между её диагоналями, как на рисунке. Найдите периметр этой трапеции, если её основания равны 4 и 6.

Пусть основания равны \(6\) и \(4\), а боковая сторона равна \(c\). В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \((6-4)/2=1\). Обозначим острый угол при большем основании через \(\alpha\). Тогда \(\tan\alpha=h\).

Угол между диагоналями равен \(2\alpha\). Из условия равенства этого угла острому углу трапеции следует \(\alpha=30^\circ\). Поэтому \(h=\tan30^\circ=1/\sqrt3\), а боковая сторона \(c=1/\cos30^\circ=2/\sqrt3\).

Периметр: \(P=6+4+2c=10+4/\sqrt3=10+4\sqrt3/3\).

Ответ: \(10+\dfrac{4\sqrt3}{3}\).