13. Периметр равнобедренного треугольника равен 26см, разность двух сторон равна 5 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a, a, b \) или \( a, b, b \).

Периметр \( P = 26 \) см.

Разность двух сторон равна 5 см.

Случай 1: Стороны \( a, a, b \)

Разность между равными сторонами равна 0, значит, разность 5 см может быть только между боковой и основанием: \( |a - b| = 5 \).

Периметр: \( 2a + b = 26 \).

Вариант 1.1: \( a - b = 5 \) => \( a = b + 5 \)

Подставим во второй уравнение:

\( 2(b + 5) + b = 26 \)

\( 2b + 10 + b = 26 \)

\( 3b = 16 \)

\( b = \frac{16}{3} \)

\( a = \frac{16}{3} + 5 = \frac{16 + 15}{3} = \frac{31}{3} \)

Стороны: \( \frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{16}{3} \). Проверим неравенство треугольника: \( \frac{16}{3} + \frac{31}{3} > \frac{31}{3} \) - верно.

Вариант 1.2: \( b - a = 5 \) => \( b = a + 5 \)

Подставим во второй уравнение:

\( 2a + (a + 5) = 26 \)

\( 3a + 5 = 26 \)

\( 3a = 21 \)

\( a = 7 \)

\( b = 7 + 5 = 12 \)

Стороны: \( 7, 7, 12 \). Проверим неравенство треугольника: \( 7 + 7 = 14 > 12 \) - верно.

Случай 2: Стороны \( a, b, b \)

Разность между равными сторонами равна 0, значит, разность 5 см может быть только между боковой и основанием: \( |a - b| = 5 \).

Периметр: \( a + 2b = 26 \).

Вариант 2.1: \( a - b = 5 \) => \( a = b + 5 \)

Подставим во второй уравнение:

\( (b + 5) + 2b = 26 \)

\( 3b + 5 = 26 \)

\( 3b = 21 \)

\( b = 7 \)

\( a = 7 + 5 = 12 \)

Стороны: \( 12, 7, 7 \). Проверим неравенство треугольника: \( 7 + 7 = 14 > 12 \) - верно.

Вариант 2.2: \( b - a = 5 \) => \( b = a + 5 \)

Подставим во второй уравнение:

\( a + 2(a + 5) = 26 \)

\( a + 2a + 10 = 26 \)

\( 3a = 16 \)

\( a = \frac{16}{3} \)

\( b = \frac{16}{3} + 5 = \frac{16 + 15}{3} = \frac{31}{3} \)

Стороны: \( \frac{16}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3} \). Проверим неравенство треугольника: \( \frac{16}{3} + \frac{31}{3} > \frac{31}{3} \) - верно.

Условие про внешний угол острый:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов. Если внешний угол острый (меньше 90°), то смежный с ним внутренний угол тупой (больше 90°).

В равнобедренном треугольнике может быть только один тупой угол. Это может быть угол при вершине, если основание больше боковых сторон, или один из углов при основании, если сумма двух других углов больше 90°.

Рассмотрим найденные варианты сторон:

1) \( \frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{16}{3} \). Здесь основание \( b = \frac{16}{3} \approx 5.33 \), боковые стороны \( a = \frac{31}{3} \approx 10.33 \). Углы при основании равны, угол при вершине может быть тупым.

2) \( 7, 7, 12 \). Здесь основание \( b = 12 \), боковые стороны \( a = 7 \). Угол при вершине может быть тупым.

3) \( 12, 7, 7 \). Здесь основание \( a = 12 \), боковые стороны \( b = 7 \). Углы при основании равны, угол при вершине может быть тупым.

4) \( \frac{16}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3} \). Здесь основание \( a = \frac{16}{3} \approx 5.33 \), боковые стороны \( b = \frac{31}{3} \approx 10.33 \). Углы при основании равны, угол при вершине может быть тупым.

Условие, что один из внешних углов острый, означает, что соответствующий ему внутренний угол тупой. Тупой угол может быть только в тупоугольном треугольнике. В равнобедренном треугольнике только один угол может быть тупым. Это может быть угол при вершине. Если угол при вершине тупой, то углы при основании острые.

В варианте \( 7, 7, 12 \) боковые стороны меньше основания. Угол при вершине напротив основания будет тупым. Это значит, что его внешний угол будет острым.

В варианте \( \frac{16}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3} \) боковые стороны больше основания. Углы при основании острые, угол при вершине тупой. Внешний угол при вершине будет острым.

Если рассмотреть случай, когда тупой угол находится при основании, это невозможно, так как сумма углов при основании должна быть меньше 180°, и оба угла острые.

Учитывая, что в равнобедренном треугольнике только один угол может быть тупым, и он находится напротив основания, то основание должно быть большей стороной, чем боковые стороны.

Следовательно, вариант \( 7, 7, 12 \) удовлетворяет условию.

Ответ: Стороны треугольника равны 7 см, 7 см, 12 см.