13. Решить неравенство $$x^2-2x-3<0$$

Решение:

Решим квадратное неравенство \( x^2 - 2x - 3 < 0 \). Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
2. Найдем корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
3. Полученные корни \( x = -1 \) и \( x = 3 \) разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3) \), \( (3, +\infty) \).
4. Парабола \( y = x^2 - 2x - 3 \) ветвями вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен.
5. Неравенство \( x^2 - 2x - 3 < 0 \) выполняется там, где парабола находится ниже оси абсцисс. Это происходит между корнями.
6. Таким образом, решение неравенства: \( -1 < x < 3 \).

Ответ: $$(-1; 3)$$