4. Решите уравнение: $$25^{x-8} = (\sqrt{5})^{x+10}$$

Решение:

Приведём обе части уравнения к одному основанию. Основанием будет \( 5 \).

1. \( 25^{x-8} = (5^2)^{x-8} = 5^{2(x-8)} = 5^{2x-16} \).
2. \( (\sqrt{5})^{x+10} = (5^{1/2})^{x+10} = 5^{\frac{1}{2}(x+10)} = 5^{\frac{x}{2}+5} \).
3. Теперь приравняем показатели степеней: \( 2x - 16 = \frac{x}{2} + 5 \).
4. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \( 2(2x - 16) = 2(\frac{x}{2} + 5) \) \( 4x - 32 = x + 10 \).
5. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 4x - x = 10 + 32 \) \( 3x = 42 \).
6. Найдём \( x \): \( x = \frac{42}{3} = 14 \).

Ответ: 14