13. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

1. Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P \times h_a \).

2. Найдём периметр основания \( P \):

\( P = 6 \times сторона = 6 \times 10 = 60 \).

3. Найдём апофему \( h_a \). Апофема — высота боковой грани (равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике боковая сторона — это боковое ребро пирамиды \( l = 13 \). Основание этого треугольника — сторона шестиугольника \( a = 10 \).

По теореме Пифагора:

\( h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2 \).

\( h_a^2 + (\frac{10}{2})^2 = 13^2 \).

\( h_a^2 + 5^2 = 13^2 \).

\( h_a^2 + 25 = 169 \).

\( h_a^2 = 169 - 25 = 144 \).

\( h_a = \sqrt{144} = 12 \).

4. Найдём площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 60 \times 12 = 30 \times 12 = 360 \).

Ответ: 360.