13. Укажите решение неравенства 49x² ≥ 25

Задание 13. Решение неравенства

Дано: неравенство \( 49x^2 \ge 25 \).

Решение:

1. Перенесём 25 в левую часть: \[ 49x^2 - 25 \ge 0 \]
2. Разложим левую часть как разность квадратов \( (a^2 - b^2) = (a-b)(a+b) \), где \( a = 7x \) и \( b = 5 \): \[ (7x - 5)(7x + 5) \ge 0 \]
3. Найдем корни уравнения \( (7x - 5)(7x + 5) = 0 \): \( 7x - 5 = 0 \rightarrow 7x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{7} \) и \( 7x + 5 = 0 \rightarrow 7x = -5 \rightarrow x = -\frac{5}{7} \).
4. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -\frac{5}{7}] \), \( [-\frac{5}{7}; \frac{5}{7}] \) и \( [\frac{5}{7}; \infty) \).
5. Проверим знаки выражения \( (7x - 5)(7x + 5) \) на каждом интервале:
   • При \( x < -\frac{5}{7} \) (например, \( x = -1 \)): \( (7(-1) - 5)(7(-1) + 5) = (-12)(-2) = 24 > 0 \).
   • При \( -\frac{5}{7} < x < \frac{5}{7} \) (например, \( x = 0 \)): \( (7(0) - 5)(7(0) + 5) = (-5)(5) = -25 < 0 \).
   • При \( x > \frac{5}{7} \) (например, \( x = 1 \)): \( (7(1) - 5)(7(1) + 5) = (2)(12) = 24 > 0 \).
6. Нам нужно, чтобы выражение было \( \ge 0 \), поэтому подходят интервалы \( (-\infty; -\frac{5}{7}] \) и \( [\frac{5}{7}; \infty) \).

Ответ: 1) и 4).