13. В четырёх ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно и меньше 50?

Решение:

Обозначим количество красных, синих и белых шаров в каждом ящике как \( K_i, S_i, B_i \) соответственно, где \( i = 1, 2, 3, 4 \).

Суммарное количество шаров:

• \[ K_{total} = K_1 + K_2 + K_3 + K_4 \]
• \[ S_{total} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 \]
• \[ B_{total} = B_1 + B_2 + B_3 + B_4 \]

Условия задачи:

1. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках:
• \[ S_1 = B_2 + B_3 + B_4 \]
• \[ S_2 = B_1 + B_3 + B_4 \]
• \[ S_3 = B_1 + B_2 + B_4 \]
• \[ S_4 = B_1 + B_2 + B_3 \]
2. Число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках:
• \[ B_1 = K_2 + K_3 + K_4 \]
• \[ B_2 = K_1 + K_3 + K_4 \]
• \[ B_3 = K_1 + K_2 + K_4 \]
• \[ B_4 = K_1 + K_2 + K_3 \]

Сложим все уравнения для синих шаров:

• \[ S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = (B_2 + B_3 + B_4) + (B_1 + B_3 + B_4) + (B_1 + B_2 + B_4) + (B_1 + B_2 + B_3) \]
• \[ S_{total} = 3(B_1 + B_2 + B_3 + B_4) = 3 B_{total} \]

Аналогично для белых шаров:

• \[ B_1 + B_2 + B_3 + B_4 = (K_2 + K_3 + K_4) + (K_1 + K_3 + K_4) + (K_1 + K_2 + K_4) + (K_1 + K_2 + K_3) \]
• \[ B_{total} = 3(K_1 + K_2 + K_3 + K_4) = 3 K_{total} \]

Из этого следует, что \( S_{total} = 3 B_{total} \) и \( B_{total} = 3 K_{total} \).

Значит, \( S_{total} = 3 (3 K_{total}) = 9 K_{total} \).

Общее количество шаров равно \( N = K_{total} + S_{total} + B_{total} \).

• \[ N = K_{total} + 9 K_{total} + 3 K_{total} \]
• \[ N = 13 K_{total} \]

Общее количество шаров должно быть кратно 13. Также известно, что количество шаров чётно и меньше 50.

Найдем числа, кратные 13:

• 13, 26, 39, 52, ...

Из этих чисел нам подходят только четные, которые меньше 50:

• 26

Если \( N = 26 \), то \( K_{total} = 26 / 13 = 2 \).

Тогда \( B_{total} = 3 \cdot K_{total} = 3 \cdot 2 = 6 \).

И \( S_{total} = 9 \cdot K_{total} = 9 \cdot 2 = 18 \).

Проверим условие: \( S_{total} = 3 B_{total} \) -> \( 18 = 3 \cdot 6 \). Верно.

Ответ: 26