14. Ира загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 446. Какую цифру зачеркнула Ира? Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть загаданное четырёхзначное число равно \( N \). Пусть сумма его цифр равна \( S \).

По условию задачи, \( N - S \) — это число, у которого после зачёркивания одной цифры получилось 446.

Известно, что любое четырёхзначное число, из которого вычли сумму его цифр, делится на 9. То есть, \( N - S \) делится на 9.

Рассмотрим возможные варианты числа \( N - S \) после зачёркивания одной цифры:

Вариант 1: Зачеркнутая цифра — первая (тысячи).

Число будет выглядеть как \( 446X \), где \( X \) — зачёркнутая цифра. Это число должно делиться на 9. Перебираем варианты для \( X \) (от 0 до 9):

• 4460: 4+4+6+0 = 14 (не делится на 9)
• 4461: 4+4+6+1 = 15 (не делится на 9)
• 4462: 4+4+6+2 = 16 (не делится на 9)
• 4463: 4+4+6+3 = 17 (не делится на 9)
• 4464: 4+4+6+4 = 18 (делится на 9)
• 4465: 4+4+6+5 = 19 (не делится на 9)
• 4466: 4+4+6+6 = 20 (не делится на 9)
• 4467: 4+4+6+7 = 21 (не делится на 9)
• 4468: 4+4+6+8 = 22 (не делится на 9)
• 4469: 4+4+6+9 = 23 (не делится на 9)

Возможное число \( N - S = 4464 \). Зачёркнутая цифра — 4.

Вариант 2: Зачеркнутая цифра — вторая (сотни).

Число будет выглядеть как \( 4X46 \), где \( X \) — зачёркнутая цифра. Сумма цифр \( 4 + X + 4 + 6 = 14 + X \). Это число должно делиться на 9.

• 14 + X = 18 (при \( X = 4 \)). Тогда число 4446. Зачёркнутая цифра — 4.
• 14 + X = 27 (при \( X = 13 \) - невозможно).

Возможное число \( N - S = 4446 \). Зачёркнутая цифра — 4.

Вариант 3: Зачеркнутая цифра — третья (десятки).

Число будет выглядеть как \( 44X6 \), где \( X \) — зачёркнутая цифра. Сумма цифр \( 4 + 4 + X + 6 = 14 + X \). Это число должно делиться на 9.

• 14 + X = 18 (при \( X = 4 \)). Тогда число 4446. Зачёркнутая цифра — 4.
• 14 + X = 27 (при \( X = 13 \) - невозможно).

Возможное число \( N - S = 4446 \). Зачёркнутая цифра — 4.

Вариант 4: Зачеркнутая цифра — четвёртая (единицы).

Число будет выглядеть как \( 446X \), где \( X \) — зачёркнутая цифра. Сумма цифр \( 4 + 4 + 6 + X = 14 + X \). Это число должно делиться на 9.

• 14 + X = 18 (при \( X = 4 \)). Тогда число 4464. Зачёркнутая цифра — 4.
• 14 + X = 27 (при \( X = 13 \) - невозможно).

Возможное число \( N - S = 4464 \). Зачёркнутая цифра — 4.

Во всех случаях, когда число \( N - S \) делится на 9, зачёркнутая цифра оказывается 4.

Проверим: пусть \( N - S = 4464 \). Зачёркнутая цифра — 4. Тогда \( N \) может быть, например, 4468 (сумма цифр = 22, \( 4468 - 22 = 4446 \) - не подходит). Или \( N = 4470 \) (сумма цифр = 15, \( 4470 - 15 = 4455 \) - не подходит).

Рассмотрим случай, когда \( N - S = 4464 \). Из этого числа зачеркнули 4, получили 446. Это возможно, если зачеркнутая 4 была не первая (десятки или единицы).

Пусть \( N - S = 4464 \). Зачеркнули 4. Получили 446. Это значит, что зачеркнутая цифра была одна из четырех:

• Если зачеркнули первую 4, получили 464. Не 446.
• Если зачеркнули вторую 4, получили 464. Не 446.
• Если зачеркнули 6, получили 444. Не 446.
• Если зачеркнули 4 (единицы), получили 446.

Значит, \( N - S = 4464 \) и зачеркнутая цифра - последняя 4.

Ответ: 4